Evropská call s částkou, která při expiraci doroste na realizační cenu, má stejné konečné nároky jako podklad s evropskou put. Put–call parita proto váže ceny těchto sestav; její praktické použití vyžaduje shodné smlouvy a započtení nákladů.
Nejdřív srovnejte stejné smluvní podmínky
Put–call parita propojuje cenu evropské call a evropské put na stejný podklad se stejnou realizační cenou a expirací. Základní rovnost neříká, že obě opce musejí stát stejně. Říká, že dvě sestavy se stejnými konečnými nároky musejí v ideálním bezarbitrážním modelu mít stejnou dnešní hodnotu. Jinak by jejich současným nákupem a prodejem vznikl cenový rozdíl bez konečné tržní expozice.
Označme dnešní cenu podkladu S, call c, put p a realizační cenu K. Pro bezdividendový podklad a evropské uplatnění platí c + PV(K) = S + p. PV(K) je dnešní hodnota jisté částky K splatné při expiraci. Pro náš výpočet zvolíme jednu jednotku hypotetického aktiva a koruny; příklad nepředstavuje skutečně obchodovaný kontrakt ani nabídku zajištění.
Na levé straně vlastníme call a prostředky, které do expirace dorostou na K. Na pravé straně vlastníme podklad a put. Rovnost vysvětlíme přímo z jejich konečných nároků. Nepotřebujeme pro to předpovědět budoucí cenu podkladu ani odhadnout pravděpodobnost každého scénáře. Obě možnosti musejí být porovnatelné v téže měně a k témuž datu.
Dvě sestavy při poklesu i růstu
Zvolme realizační cenu 100 Kč. Sestava A obsahuje jednu call a bezrizikovou peněžní část splatnou ve výši 100 Kč. Sestava B obsahuje jednu jednotku podkladu a jednu put. Uvažujeme evropské opce vypořádané při expiraci a vyjadřujeme tržní hodnotu podkladu také v penězích. Nezahrnujeme žádné dřívější platby podkladu.
Pokud konečná cena klesne na 80 Kč, call nemá kladný nárok. A však dostane svých 100 Kč z peněžní části. V B má podklad hodnotu 80 Kč a put přidá rozdíl 20 Kč. Dohromady jde opět o 100 Kč. Při růstu na 120 Kč přidá call v A dvacet korun k peněžní stovce. V B má samotný podklad hodnotu 120 Kč a put nepřidá nic.
| Konečná cena | A: call + 100 Kč | B: podklad + put |
|---|---|---|
| 80 Kč | 0 + 100 = 100 Kč | 80 + 20 = 100 Kč |
| 100 Kč | 0 + 100 = 100 Kč | 100 + 0 = 100 Kč |
| 120 Kč | 20 + 100 = 120 Kč | 120 + 0 = 120 Kč |
Stejný výsledek získáme pro každou jinou konečnou cenu: obě sestavy mají hodnotu max(ST, 100). Tabulka nevypovídá o čistém zisku kupujícího, protože zatím neodečítá vstupní náklady. Právě ty budeme porovnávat pomocí dnešních cen.
Proč ve vzorci stojí současná hodnota
Sto korun při expiraci není za kladné sazby sto korun dnes. Předpokládejme rok do expirace a modelovou efektivní roční bezrizikovou sazbu 4 %. Dnešní částka potřebná k vytvoření stovky za rok je 100 / 1,04 = 96,15 Kč po zaokrouhlení. V mezivýpočtech ponecháme plnou přesnost, tedy přibližně 96,153846 Kč.
Vlastní vstupní cena podkladu je 100 Kč a cena call 8 Kč. Z parity vyjde put p = 8 − 100 + 100 / 1,04 = 4,15 Kč. Sestava A stojí 8 + 96,153846 = 104,153846 Kč. Sestava B stojí 100 + 4,153846 Kč, tedy totéž. Veřejné částky uvádíme na dvě desetinná místa; tato zaokrouhlení nejsou důkazem obchodovatelného cenového rozdílu.
Pokud bychom místo diskontované částky omylem vložili do vzorce celých 100 Kč, dostali bychom cenu put 8 Kč. Taková cena by odpovídala nulové sazbě, nikoli našemu čtyřprocentnímu modelu. Rozdíl 3,85 Kč po zaokrouhlení vzniká pouze chybou v čase peněz. Význam převodu budoucí částky vysvětluje také současná hodnota a NPV; zde však oceňujeme jistý smluvní nárok, nikoli nejistý podnikatelský projekt.
Roční a průběžná sazba nejsou stejný zápis
Náš příklad používá efektivní roční sazbu a přesně jeden rok. U průběžně úročené sazby se současná hodnota píše K × exp(−rT), kde T vyjadřuje roky. Dosadit do tohoto zápisu automaticky stejná čtyři procenta by znamenalo jinou úrokovou konvenci. Přepočet musí být konzistentní se způsobem, jak je sazba definována.
Efektivnímu ročnímu zhodnocení 4 % odpovídá průběžná sazba ln(1,04), přibližně 3,9221 %. Její použití v exponenciálním diskontu na rok vrátí stejnou dnešní částku 96,153846 Kč. Číselná odlišnost dvou sazeb neznamená jiný ekonomický předpoklad, pokud jsme je správně převedli.
Při nulové sazbě by PV(K) byla 100 Kč a put by při stejném podkladu a call vyšla na 8 Kč. Při změně sazby v izolovaném výpočtu měníme jen hodnotu budoucí jistiny; skutečná tržní cena call přitom nemusí zůstat na osmi korunách. Takto sestavená citlivost tedy není předpovědí, jak se současně přecení všechny instrumenty.
Zdánlivě drahá put a modelové vyrovnání
Nyní ponechme ostatní vstupy a předpokládejme, že hypotetická put stojí 5 Kč místo vypočtených 4,153846 Kč. Sestava B by měla cenu 105 Kč, zatímco A pouze 104,153846 Kč. V čistém modelu vzniká rozdíl 0,846154 Kč na jednotku. Nároky obou sestav při expiraci však zůstávají stejné.
Myšlenkový kontrolní obchod proto nakupuje levnější A a prodává dražší B. To znamená nákup call a peněžní části a současný prodej podkladu nakrátko a výpis put. Při expiraci se jednotlivé čisté nároky vzájemně vyruší. Cenový rozdíl vzniká při založení sestavy. Tento popis slouží k ověření vzorce; nezaručuje, že lze takovou kombinaci za uvedené podmínky uskutečnit.
Pro 100 jednotek činí modelový hrubý vstupní přebytek 84,62 Kč. Předpokládejme čtyři vstupní poplatky po 20 Kč za uvedené části, celkem 80 Kč. Po nich zbývá pouze 4,62 Kč vstupního přebytku. Do této ukázky jsme stále nezahrnuli spread, cenu zápůjčky podkladu, požadavky na zajištění, daně ani další pozdější poplatky. Tak malý zbytek proto není dokladem praktické výhodnosti.
Co změní dividendy a odlišný styl uplatnění
Bezdividendová podmínka je součástí našeho modelu. Pokud držení podkladu přinese známé peněžní výplaty před expirací, pravá sestava je získá, zatímco samotná call s peněžní částí je nezískává stejným způsobem. Musíme je do ocenění přidat. Pro známé deterministické dividendy se bezarbitrážní vztah upravuje odečtením jejich současné hodnoty od ceny podkladu při vyjádření c − p.
Také americký styl dovoluje předčasné uplatnění, a tím mění časování práv a povinností. Přesnou evropskou rovnost proto nepoužívejte bez dalšího jako kontrolu dvou amerických opcí. Náš peněžní scénář předčasné události nezahrnuje. V reálných podmínkách je třeba prověřit konkrétní specifikaci, dividendy a možné přiřazení povinnosti.
Stejně důležitá je shoda expirace a realizační ceny. Call na konec jednoho měsíce a put na konec jiného nevytvářejí uvedené dvojice konečných nároků. V takové kombinaci není rozdíl proti vzorci automaticky chybnou tržní cenou. Začněte porovnáním smluv, teprve potom porovnávejte samotná čísla.
Praktická kontrola kotací a financování
Pro kontrolu parity si připravte stejné podkladové jednotky, měnu, expiraci, strike, styl a vypořádání. Ceny zaznamenejte ke stejnému okamžiku. Poslední obchod call z rána a poslední obchod put z odpoledne mohou být nesrovnatelné, i když je obrazovka zobrazí vedle sebe. Zvlášť u málo obchodovaných kontraktů stará cena nemusí reprezentovat současnou nabídku.
Potom určete směr každé transakce: nákup používá dostupnou prodejní nabídku a prodej dostupnou nákupní nabídku. Střed kotací neposkytuje závaznou cenu celé kombinace. Přiřaďte náklady a zjistěte, zda máte skutečně dostupnou zápůjčku podkladu i úrokové podmínky z modelu. Společná teoretická bezriziková sazba pro vklad a půjčku bývá silným zjednodušením.
Celkový rozpočet musí zahrnovat i prostředky blokované proti vypsané opci a krátké pozici. Rovnost konečných nároků sama negarantuje, že během trvání nebudete potřebovat další hotovost. Nesouběžné provedení jednotlivých částí může navíc vytvořit dočasnou otevřenou expozici. Při vzdělávacím přepočtu tyto limity pojmenujte místo označení rozdílu za snadný garantovaný výdělek.
Znaménka při přeskupení rovnosti
Základní rovnici lze přepsat jako c − p = S − PV(K). V našem příkladu je rozdíl opčních cen 8 − 4,153846 = 3,846154 Kč. Stejnou částku dostaneme z 100 − 96,153846 Kč. Minus před put odpovídá její krátké pozici, nikoli koupenému právu na ochranu. Při čtení syntetických sestav se proto nesmí znaménka vynechat.
Chceme-li vyjádřit samotný podklad, dostaneme S = c − p + PV(K). Kombinace nakoupené call a vypsané put při expiraci přinese ST − K. Teprve přidání peněžní částky K vytvoří konečný nárok ST. Zapomenutí jistiny by zaměnilo budoucí cenový rozdíl za vlastnictví celé hodnoty podkladu. Rovnost navíc zahrnuje povinnosti krátké put; zjednodušený slovní popis je nesmí skrýt.
Co parita umožní zjistit a co už ne
Parita je užitečná kontrola konzistence. V našem příkladu umožnila dopočítat cenu put z call, podkladu a diskontované jistiny, vysvětlit rozdíl call a put při kladné sazbě a odhalit chybu při používání celé budoucí částky jako dnešních peněz. Všechny výstupy závisí na předem určených smluvních a finančních předpokladech.
Samotný vztah nedává pravděpodobnost růstu ani doporučení nákupu. Neznáme z něj odděleně obě opční ceny, pokud jsme jednu neposkytli jako vstup. Neměří také riziko vhodnosti derivátu pro konkrétního člověka. Závěrečná kontrola má proto dvě části: zda souhlasí matematika konečných nároků a zda podmínky skutečně umožňují srovnávané operace za dostupné ceny.
FAQ: nejčastější otázky
Musejí call a put stát stejně?
Ne. V našem bezdividendovém modelu při roční efektivní sazbě 4 % stojí call 8 Kč a put 4,15 Kč. Rovnost se týká celých sestav.
Proč do vzorce nepatří celých budoucích 100 Kč?
Při kladné sazbě je dnešní cena jisté stovky za rok nižší. V modelu činí 100 / 1,04, tedy přibližně 96,15 Kč.
Potřebuji pro důkaz znát budoucí cenu podkladu?
Ne. Dvě sestavy mají stejné konečné nároky pro všechny ceny. Vlastní tabulka poklesu, rovnosti a růstu ukazuje jednotlivé větve.
Platí výpočet i pro jiné měsíce expirace?
Každou shodnou dvojici lze analyzovat s odpovídajícím časem a diskontem. Nelze ale sestavit stejnou rovnost z call a put s odlišnými expiracemi.
Je rozdíl od parity obchodní příležitostí?
Teoretická odchylka sama nestačí. Potřebujete proveditelné ceny, synchronní transakce, financování, zápůjčku, zajištění a celý přehled nákladů.
Proč se přebytek 84,62 Kč skoro ztratil?
Čtyři modelové vstupní poplatky po 20 Kč odečetly 80 Kč. Zbytek 4,62 Kč ještě nezahrnuje další skutečné náklady a omezení.
Lze evropskou rovnost použít přímo na americké opce?
Ne automaticky. Možnost předčasného uplatnění mění práva i časování. Tento článek odvozuje rovnost pro evropské opce.
Říká parita, že cena podkladu poroste?
Ne. Je to vztah konzistentních cen a smluvních nároků, nikoli směrová prognóza. Z ceny dopočtené put nelze odvodit slíbený výnos.
Zdroje a metodika
Mechanismy ověřeny 11. října 2026. Číselné příklady vytvořila redakce; jsou modelové a nepředstavují prognózu ani nabídku investice.
- OIC: Put/Call Parity — Bezarbitrážní vztah, diskontování a omezení transakčních nákladů.
- OIC: Equity vs. Index Options — Evropský styl, peněžní vypořádání a smluvní podmínky.
