Expected shortfall a CVaR: jak číst průměrnou ztrátu za hranicí VaR

Expected shortfall měří průměrnou ztrátu v nejhorší části zvoleného modelového rozdělení. Pomáhá poznat, co může nastat za hranicí VaR, kterou samotný kvantil nepopisuje. Výsledek však závisí na datech, horizontu a způsobu zacházení s krajními scénáři. Není to maximální možná ztráta ani záruka, že budoucí propad nepřekročí model.

Jakou otázku řeší expected shortfall

Dva modely mohou uvádět stejnou hranici běžnějších a vzácnějších ztrát, ale za touto hranicí mohou mít velmi rozdílné následky. Jedno portfolio v nepříznivém scénáři ztratí přiměřeně více, druhé může utrpět mimořádně hluboký propad. Samotná kvantilová hranice tuto odlišnost neukáže.

Expected shortfall proto sleduje celou nejhorší část modelu, nikoli pouze její začátek. Výstupem je průměr relevantních ztrát při jasně zvolené pravděpodobnostní úrovni. Užitečný je pro srovnání závažnosti krajních scénářů, ne pro slib konkrétního budoucího výsledku. Čtenář potřebuje zároveň vědět, jak model vznikl a co vůbec dokáže zachytit. Jediné číslo bez definice neposkytuje úplný obrázek rizika.

Rozdíl mezi VaR a průměrem ocasu

VaR se v obvyklém ztrátovém vyjádření chápe jako kvantil rozdělení ztráty. Například hranice na úrovni 95 procent odděluje posledních pět procent modelových výsledků. Neříká, jak hluboké jsou ztráty uvnitř této části. Základ a omezení podrobněji rozebírá Value at Risk a jeho limity.

Expected shortfall při stejné úrovni spočítá průměr této nejhorší pětiprocentní části. CFA Institute v přehledu měření tržního rizika uvádí conditional VaR jako průměr ztráty za hranicí VaR. U hladkého rozdělení tato intuice funguje přímo. U konečných vzorků a hodnot přesně na hranici ale musí být uvedena konvence, aby bylo jasné, které pozorování do průměru vstoupilo.

Vlastní model se stovkou stejně pravděpodobných scénářů

Představme si sto stejně pravděpodobných modelových scénářů ztráty portfolia. Nejhorších pět scénářů ztrácí 6, 8, 10, 14 a 22 procent. Pro tuto ukázku definujeme expected shortfall na úrovni 95 procent jako aritmetický průměr právě těchto pěti nejhorších výsledků.

Součet ztrát je šedesát procentních bodů a průměr dvanáct procent. U portfolia za milion korun to odpovídá modelové průměrné ztrátě 120 000 korun v nejhorší pětiprocentní části. Nejde o průměrnou ztrátu celé stovky scénářů. Je to podmíněný pohled na nepříznivý ocas podle uvedené konvence. Ostatních devadesát pět výsledků může být mnohem mírnějších nebo i příznivých.

Stejná hranice, jiný konec rozdělení

U druhého hypotetického portfolia ponechme všechny ostatní výsledky stejné a změňme jen nejhorší ztrátu z 22 na 42 procent. Hranice oddělující krajní část se nemusí změnit, ale její průměr vzroste. Nový součet nejhorších pěti ztrát je osmdesát a expected shortfall šestnáct procent.

U milionové hodnoty činí rozdíl těchto modelových průměrů čtyřicet tisíc korun. Nejhorší jednotlivé ztráty přitom jsou 220 000 a 420 000. Tabulka názorně odděluje průměr krajní části od maxima, které jsme do modelu vložili. Ani toto vložené maximum nemusí být hranicí možných budoucích ztrát.

Jak zacházet s konečným vzorkem

Pokud je pozorování málo, nejhorší část nemusí obsahovat celý počet záznamů. Pět procent z dvaceti je jedno pozorování; pět procent z třiceti je jeden a půl. Metoda může používat interpolaci, váženou část hraniční hodnoty nebo jinou výslovně popsanou konvenci. Bez ní dva programy mohou dát rozdílný výsledek i ze stejných dat.

Také se mohou některé ztráty rovnat kvantilu. Prosté pravidlo průměr pouze přísně větších ztrát pak nemusí zahrnout přesně požadovanou pravděpodobnostní hmotnost. V našem příkladu je vše zjednodušeno na přesně pět stejně vážených nejhorších scénářů. U skutečného výpočtu uložte třídění, váhy a práci s hranicí. Nestačí napsat CVaR a předpokládat, že metodika je automaticky jednoznačná.

Pravděpodobnostní úroveň musí být uvedena

Expected shortfall na úrovni 95 procent sleduje jinou část rozdělení než na úrovni 99 procent. U stovky stejně pravděpodobných scénářů je nejhorší jedno procento jediný scénář. V našem portfoliu A by tak podle zvolené jednoduché konvence vyšel výsledek 22 procent, u B 42 procent.

Není správné srovnávat jedno portfolio na 95 procentech a druhé na 99 bez vysvětlení. Vyšší úroveň zpravidla soustředí pohled na užší a závažnější ocas, který je také obtížnější odhadnout z omezeného vzorku. Výstup potřebuje společné zadání: stejnou úroveň, horizont, měnu, definici portfolia a přístup k datům. Jinak může zdánlivě horší ukazatel vzniknout jen odlišnou metodikou.

Horizont neměňte bez přepočtu modelu

Denní, měsíční a roční ztráty nejsou stejná otázka. Dlouhodobější cesta může obsahovat opakované změny cen, kupóny, výběry, náklady nebo potřebu doplnit zajištění. Převod krátkého výsledku na delší pouhým násobením nebo odmocninou času závisí na silných předpokladech.

Pokud výnosy nejsou nezávislé, mají proměnlivou volatilitu nebo obsahují nelineární pozice, jednoduché škálování může být nevhodné. Uveďte, co model v čase předpokládá. Investor s platbou za měsíc potřebuje jiný časový pohled než dlouhodobý investor bez krátkodobého závazku. Souvislost mezi cílem a dobou držení vysvětluje investiční horizont podle cíle. Výsledek musí odpovídat rozhodnutí, které chcete řešit.

Historická simulace vidí vybranou minulost

Historický přístup vychází z dřívějších změn relevantních faktorů nebo výnosů. Jeho výhodou je návaznost na pozorované situace. Omezením je výběr období: klidný vzorek může obsahovat málo silných šoků a nedávné krizové období může ovlivnit výsledek opačným směrem.

Nejde pouze o počet let. Ověřte také četnost dat, srovnatelnost instrumentů, změnu portfolia a zacházení s chybějícími hodnotami. U nelikvidního aktiva může nehybná vykazovaná cena skrývat nejistotu prodeje. Historická řada s hladkým průběhem není důkaz, že aktivum má malou krajní ztrátu. Likvidita investice přidává otázku, za jakých podmínek lze modelovou hodnotu skutečně zpeněžit.

Parametrický model a simulace potřebují předpoklady

Parametrický model odhaduje vlastnosti rozdělení a z nich krajní část. Pokud zvolený tvar má tenký ocas, může podhodnotit výskyt velmi hlubokých ztrát. Naopak složitější model není automaticky přesnější: potřebuje důvěryhodné parametry a kontrolu, zda odpovídají danému portfoliu.

Simulace vytváří mnoho modelových cest, ale umí pouze to, co dovolují její pravidla. Velký počet simulovaných scénářů nezahrne neznámý typ události, který zadání vynechalo. Oddělte statistickou přesnost výpočtu v modelu od správnosti modelu jako popisu světa. Desetinná místa mohou být stabilní i v situaci, kdy podstatná nejistota leží v korelaci, likviditě nebo rozsahu možných šoků.

Závislosti mezi aktivy rozhodují

Součet expected shortfall jednotlivých pozic není obecně stejný jako expected shortfall celého portfolia. Výsledek závisí na tom, zda se nepříznivé scénáře potkávají současně. Model společných faktorů musí zachytit vztahy mezi aktivy a jejich změny v neklidném prostředí.

Portfolio s mnoha názvy může stále stát na jednom riziku. Stejný emitent, odvětví nebo financování může vytvořit společný problém. Pomůže korelace a diverzifikace a koncentrace emitentů. U kombinace fondů kontrolujte překryv. Nízký historický společný pohyb ve vybraném období nedává jistotu, že se vztah v krizové situaci nezmění.

Nelineární pozice vyžadují jiný pohled

Některé investice nereagují na pohyb trhu přibližně úměrně. Opce, pákové produkty nebo strukturované výplaty mohou mít jiný profil při malém a velkém pohybu. Lineární aproximace z běžných dní pak může přehlédnout důležitý krajní scénář.

Modelujte relevantní podmínky produktu, ne pouze poslední volatilitu jeho ceny. U páky sledujte také financování a potřebu dalších peněz během cesty. Investor může být nucen reagovat před koncem vybraného horizontu. Přehled pákových a inverzních ETF ukazuje, proč se dlouhodobý výsledek nemusí rovnat jednoduchému násobku indexu. Krajní model musí odpovídat skutečnému mechanismu investice.

Doplňte konkrétní stresové scénáře

Statistický ukazatel pomůže srovnávat rozdělení, ale nemusí pokrýt specifickou situaci, která je pro vás zásadní. Přidejte scénář prudkého poklesu akcií, změny úroků, výpadku emitenta nebo nemožnosti prodat v obvyklém objemu. U každého popište předpoklad a dopad na celé portfolio.

Pokud je některý scénář mimo statistický model, neprezentujte jej jako přesnou pravděpodobnost. Může být užitečný i jako prověrka odolnosti. Stresový test portfolia doplňuje expected shortfall otázkou, co by daná událost znamenala pro peníze potřebné k cíli. Někdy je schopnost přežít konkrétní propad důležitější než lepší pořadí v tabulce průměrného krajního rizika.

Ztráta v procentech a schopnost ji unést

Dvanáctiprocentní modelový expected shortfall u portfolia za milion znamená 120 000 korun. U portfolia za pět milionů by při stejném procentním profilu šlo o 600 000. Takový přepočet mění velikost, ale nepravděpodobnostní nejistotu výpočtu.

Posuzujte částku vzhledem k vlastnímu rozpočtu, rezervě a závazkům. Stejná procentní ztráta může být snesitelná pro vzdálený cíl a nepřijatelná pro blízkou platbu. Připravte se i na horší výsledek, než je modelový průměr ocasu. Uvedený ukazatel není částka, pod kterou stačí držet rezervu a tím odstranit riziko. Potřebujete celý rozhodovací plán včetně reakce při nečekaném vývoji.

Jak výsledek zapsat, aby byl kontrolovatelný

Vedle hodnoty uveďte pravděpodobnostní úroveň, horizont, měnu, datum portfolia a způsob výpočtu. Přidejte délku a četnost dat, váhy scénářů a zacházení s hraničními hodnotami. Upozorněte na rizika, která model nepokrývá, například likviditu nebo mimořádný závazek.

Pro srovnání variant zachovejte stejné zadání. Pokud se změnil model, ukažte starou i novou metodu na stejných datech, aby bylo možné odlišit skutečnou změnu rizika od technické změny. Uložte také několik nejhorších scénářů a jejich ekonomickou příčinu. Čtenář pak může vidět, zda výsledek stojí na jednom mimořádném záznamu nebo na širší skupině nepříznivých situací.

Čemu se při rozhodnutí vyhnout

Nepovažujte expected shortfall za maximum ani za předpověď příští krize. Neporovnávejte různé horizonty, měny a úrovně bez sjednocení. Nevybírejte historické období jen proto, že poskytne příznivé číslo, a nezaměňujte nízkou frekvenci ocenění za malou ekonomickou nejistotu.

Ukazatel má být součástí širšího vyhodnocení, vedle koncentrace, likvidity, konkrétních stresů a plánovaných potřeb peněz. Zapište, které rozhodnutí podporuje: zmenšení pozice, jinou skladbu nebo větší rezervu. Pokud se odhad výrazně mění s drobnou změnou vzorku, ukažte tuto citlivost místo jednoho výsledku na dvě desetinná místa. Užitečné měření rizika přiznává meze své přesnosti.

Citlivost jednoho krajního scénáře

V uvedeném vzorku nejhorších pěti ztrát změna jedné hodnoty o dvacet procentních bodů posunula průměr o čtyři body. Obecně v tomto stejně váženém pětiprvkovém ocasu změní zvýšení jediného zahrnutého výsledku o deset bodů průměr o dva. Ukazatel tedy dává krajní hodnotě větší váhu než průměr všech sta scénářů. To je jeho zamýšlená vlastnost, ale zároveň důvod kontrolovat datové chyby.

Pokud extrémní záznam vznikl chybnou cenou nebo jinou měnou, může ovlivnit výsledek velmi silně. Pokud naopak představuje skutečnou ekonomickou událost, odstranění jen kvůli jeho velikosti zkreslí riziko. U každého zásadního bodu prověřte původ a srovnatelnost, nikoli jen velikost. Citlivost ukažte jako informaci o nejistotě, ne jako výběr nejpříznivější varianty.

Expected shortfall a očekávaná úvěrová ztráta

Podobná slova neznamenají stejnou veličinu. Očekávaná úvěrová ztráta v jednoduchém modelu PD, LGD a EAD pracuje s pravděpodobností selhání, podílem ztráty při selhání a velikostí expozice. Expected shortfall se zaměřuje na definovanou nejhorší část rozdělení celkové ztráty. Bez sjednocení modelu, horizontu a rozsahu nelze hodnoty přímo zaměnit.

Portfolio s nízkou průměrnou očekávanou ztrátou může mít přesto velmi bolestivý krajní scénář. A vysoký expected shortfall neříká, že právě takovou částku běžně ztratíte každý rok. Rozlišení potřebuje zejména čtenář dluhopisového portfolia. Pro první veličinu navazuje článek o očekávané úvěrové ztrátě. Každý ukazatel odpovídá jiné otázce a potřebuje vlastní definici.

Rozhodovací hranice není statistická předpověď

Vedení portfolia může určit vlastní tolerovanou velikost modelového ocasu. Překročení této hranice má vyvolat kontrolu nebo změnu skladby, nikoli tvrzení, že se ztráta nutně uskuteční. Hranici porovnávejte se schopností financovat závazky a s celkovým rizikovým plánem.

Uložte, kdo výsledek kontroluje a jaká změna spouští reakci. Pokud modelové riziko roste kvůli větší pozici, jinému trhu nebo novému typu investice, musí být důvod dohledatelný. Opakovaná kontrola stejné metody má větší informační hodnotu než náhodné střídání ukazatelů podle toho, který právě vychází nejlépe.

FAQ: nejčastější otázky

Co je expected shortfall?

Průměrná ztráta v definované nejhorší části modelového rozdělení, například v posledních pěti procentech scénářů.

Je CVaR vždy přesně totéž?

Termíny se často používají obdobně. U diskrétních vzorků a hodnot na kvantilové hranici je potřeba ověřit konkrétní definici a vážení.

Jak se liší od VaR?

VaR popisuje kvantilovou hranici. Expected shortfall se zaměřuje na průměr závažnosti nejhorší části za danou úrovní.

Znamená 95 % jistotu, že ztráta nebude vyšší?

Ne. Jde o úroveň modelu. Výsledek ocasu navíc není hranicí všech možných ztrát.

Lze jednoduše sečíst ukazatele všech pozic?

Ne obecně. Potřebujete společné scénáře a vztahy mezi pozicemi, které určují celkové rozdělení ztráty.

Stačí historická data?

Popisují vybranou minulost. Doplňte kontrolu období, mechanismu investice, likvidity a specifických stresových scénářů.

Jaké jednotky používat?

Procenta nebo peněžní částku se stejným horizontem, měnou a definicí. U srovnání musí být zadání konzistentní.

Co ukázat vedle výsledku?

Metodiku, datový vzorek, citlivost, nejhorší scénáře a rizika mimo model. Potom propojit výsledek s konkrétním cílem a rozpočtem.